Vector and Plane

一、空间直角坐标系

1. 坐标轴与坐标面

   • 三条互相垂直的数轴：$x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴。

   • 三个坐标面：$xOy$ 面、$yOz$ 面、$zOx$ 面。

2. 点的坐标

   • 空间点 $M$ 对应有序数组 $(x, y, z)$，$x, y, z$ 分别为横、纵、竖坐标。

二、向量代数

（一）向量基本运算

1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y, z)$。

2. 模：$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。

3. 运算公式：

   • 加法：$\vec{a} + \vec{b} = (x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)$。

   • 减法：$\vec{a} - \vec{b} = (x_1-x_2, y_1-y_2, z_1-z_2)$。

   • 数乘：$\lambda\vec{a} = (\lambda x, \lambda y, \lambda z)$。

   • 数量积（点积）：$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$。

   • 向量积（叉积）：

     $$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} = (y_1z_2-y_2z_1, z_1x_2-z_2x_1, x_1y_2-x_2y_1)$$

     模：$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$。

   • 混合积：$[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix}$绝对值为平行六面体体积。

（二）向量关系

• 夹角：$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$。

• 平行：$\vec{a} \parallel \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} = \lambda\vec{b}$（$\lambda \in \mathbb{R}$）。

• 垂直：$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$。

三、平面方程

1. 点法式：$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$，法向量 $\vec{n} = (A, B, C)$。

2. 一般式：$Ax + By + Cz + D = 0$（$A, B, C$ 不同时为0）。

3. 截距式：$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$（$a, b, c \neq 0$，截距分别为 $a, b, c$）。

4. 两平面夹角：

   $$\cos\theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}$$

5. 点到平面距离：

   $$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

四、空间直线方程

1. 一般式（交面式）：

   $$\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases}$$

   方向向量：$\vec{b} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$（$\vec{n_1}, \vec{n_2}$ 为平面法向量）。

2. 对称式（点向式）：$\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p}$，方向向量 $\vec{b} = (m, n, p)$（$m, n, p$ 不全为0）。

3. 参数式：（ $t$ 为参数）

   $$\begin{cases} x = x_0 + mt \\ y = y_0 + nt \\ z = z_0 + pt \end{cases}$$

4. 两直线夹角：

   $$\cos\theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}||\vec{b_2}|}$$

5. 直线与平面夹角：

   $$\sin\theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}||\vec{n}|}$$

五、空间距离计算

1. 点到直线的距离

设直线 $L$ 过点 $M(x_0, y_0, z_0)$，方向向量为 $\vec{b} = (m, n, p)$，点 $N(x_1, y_1, z_1)$ 到直线的距离为：

$$d = \frac{|\overrightarrow{MN} \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$$

2. 直线与直线之间的距离

(1) 共面直线

• 若两直线平行：任取一直线上一点 $P$，到另一直线的距离即为两直线距离（用点到直线公式计算）。

• 若两直线相交：距离为 $0$。

(2) 异面直线

设直线 $L_1$ 过点 $M$，方向向量 $\vec{b_1}$；直线 $L_2$ 过点 $N$，方向向量 $\vec{b_2}$，则距离为：

$$d = \frac{|(\overrightarrow{MN}) \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|(\overrightarrow{MN}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}$$

3. 直线与平面之间的距离

设平面 $\pi: Ax + By + Cz + D = 0$，直线 $L$ 方向向量 $\vec{b} = (m, n, p)$：

• 若直线与平面平行（$\vec{b} \cdot \vec{n} = 0$，即 $Am + Bn + Cp = 0$）： 任取直线上一点 $P(x_0, y_0, z_0)$，距离为：

  $$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

• 若直线在平面上或与平面相交：距离为 $0$。

六、曲面与曲线

（一）常见曲面

1. 球面：$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$（球心 $(x_0, y_0, z_0)$，半径 $R$）。

2. 柱面：如 $x^2 + y^2 = R^2$（圆柱面，母线平行 $z$ 轴）。

3. 旋转曲面：

   • $yOz$ 面曲线 $z = f(y)$ 绕 $z$ 轴旋转：$z = f(\pm\sqrt{x^2 + y^2})$。

4. 二次曲面：

   • 椭球面：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$。

   • 单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$。

   • 双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1$。

   • 椭圆抛物面：$z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$。

   • 双曲抛物面（马鞍面）：$z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}$。

（二）空间曲线

1. 一般方程：$\begin{cases}F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0\end{cases}$（两曲面交线）。

2. 参数方程：$\begin{cases}x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t)\end{cases}$（$t$ 为参数）。

七、几何应用

• 平面法向量：通过平面内两不共线向量叉乘求得。

• 直线方向向量：通过两平面法向量叉乘（一般式）或直接给定（对称式/参数式）。

• 距离与夹角公式：如点到平面、直线与平面、两平面/直线夹角等，均通过向量运算推导。