微分方程

二阶线性微分方程

• $ay'' + by' + cy = P(x)$

第一步：找齐次特征根，求通解（C.F.）

• $a\lambda^{2}+b\lambda + c = 0$
• 判断 $\lambda_{1},\lambda_{2},\Delta$：
  1. $\Delta>0$，$\lambda_{1},\lambda_{2}$ 为实数：$y = Ae^{\lambda_{1}x}+ Be^{\lambda_{2}x}$
  2. $\Delta = 0$，$\lambda_{1},\lambda_{2}$ 相等：$y=(A + Bx) e^{\lambda x}$
  3. $\Delta<0$，$\lambda_{1},\lambda_{2}$ 为复数，$\lambda_{1,2} = \lambda \pm i \omega$，$y = e^{\lambda x}(C\sin\omega x + D\cos\omega x)$

第二步：求特解 (P.I.)

• 判断 $P(x)$ 形式：
  1. $P(x)=0$，无特解；
  2. $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n - 1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}$（多项式形式）
     • Assume $Q(x)=A_{n}x^{n}+A_{n - 1}x^{n-1}+\cdots+A_{0}$（补全 $x$ 后面的项）
     • $P(x)$ 为常数时，仍然要待定系数，令 $Q(x)=k$
  3. $P(x)=C_1 e^{kx}$
     • 判断 $k$ 和 $\lambda_{1},\lambda_{2}$ 是否相等
     • 无重根：$Q(x)=Ae^{kx}$
     • $k=\lambda_{1}$ 或 $\lambda_{2}$：$Q(x)=A x\cdot e^{kx}$
     • $k=\lambda_{1}=\lambda_{2}$：$Q(x)=Ax^2\cdot e^{kx}$
  4. $P(x)= C_1 e^{mx} \cdot(p\sin kx + q\cos kx)$
     • 通过 $\lambda + i \omega$ 判断重根，$\lambda$ 为实数没有重根
     • $P(x)=p\sin kx+q\cos kx$ （$k = 0$）
       • Assume $Q(x) = A\sin kx + B \cos kx$
       • 重根： 满足 $\omega = k$
         • $Q(x) = x(\sin kx+\cos kx)$
       • 如果 $P(x)=\sin bx+\cos mx$，拆成两个三角函数,分别计算
     • $P(x)= C_1 e^{mx} \cdot(\sin kx + \cos kx)$ （一般形式）
       • $Q(x) = A e^{mx} \cdot(B\sin kx + C\cos kx)$
       • 重根： 必须同时满足 $\lambda = m$，$\omega = k$
         • $Q(x) = Ax \cdot e^{mx} (B\sin kx + C\cos kx)$

第三步：带入 P.I.

• $Q(x)=y$，对 $Q(x)$ 求导，得到 $Q'(x)$，$Q''(x)$
• 已知方程 $ay'' + by'+ cy = P(x)$
• 令 $y = Q(x)$，$y'=Q'(x)$，$y'' = Q''(x)$
• 得：$aQ''(x)+bQ'(x)+cQ(x)=P(x)$
• 分离变量，解出 $Q(x)$ 前面的常数

第四步：得到总解（G.S.）

• $y = C.F. + Q(x)$

求 P.S.：给定 $y$，$y'$，$x$，求 $y''$

• 原方程为 $ay'' + by'+ cy = P(x)$，直接代入已知值求解