Matrix

• 转置 (Transpose): $(AB)^T = B^T A^T$
• 逆 (Inverse): $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$

2.2 行列式 (Determinant)

• 2 x 2: $\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$
• 性质:
  • $\det(AB) = \det(A)\det(B)$
  • $\det(A^T) = \det(A)$
  • $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$
  • 重要: $\det(kA) = k^n \det(A)$ ($n$ 为矩阵阶数)
  • 若 $\det(A) = 0$，则矩阵不可逆 (Singular)。

2.3 逆矩阵求法

• **2 x 2 **: $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
• 伴随矩阵法: $A^{-1} = \frac{1}{|A|} C^T$ (适合含参矩阵)
• 行变换法: $[A|I] \to [I|A^{-1}]$ (适合纯数字高阶矩阵)

线性代数：行列式与行变换 (Determinants & Row Operations)

1. 行变换操作

行变换操作 (Row Operation)	对行列式的影响	公式关系	几何意义
交换两行 (Swap)	变号 (乘以 -1)	$\det(B) = -\det(A)$	坐标系翻转 (定向改变)
某行乘以 $k$ (Scale)	变 $k$ 倍	$\det(B) = k \cdot \det(A)$	单边拉伸 (体积变大)
某行加到另一行 (Add)	不变	$\det(B) = \det(A)$	剪切变换 (体积不变)

2. 常见陷阱：矩阵倍数

如果 $A$ 和 $B$ 是 $n \times n$ 的矩阵，且 $A = k B$（即整个矩阵的每个元素都乘以 $k$），那么：

$\det(A) = k^n \det(B)$

• 原因： 矩阵一共有 $n$ 行，每一行都提取出了一个 $k$，所以总共提取了 $n$ 个 $k$。
• 对比： 仅某一行乘以 $k$ $\rightarrow$ 行列式变 $k$ 倍。
• 记忆：
  • 1 维 (长度) $\to k^1$
  • 2 维 (面积) $\to k^2$
  • 3 维 (体积) $\to k^3$
  • n 维 $\to k^n$

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3. 线性方程组 (Systems of Linear Equations)

3.1 解的判定

对于 $Ax = b$ 或增广矩阵 $[A|b]$：

• 无解: 出现 $0 = c$ ($c \neq 0$) 的行。
• 唯一解: 每个变量都有主元 (Pivot)，没有自由变量。
• 无穷多解: 也就是有自由变量 (Free Variable)。

3.2 齐次方程组 $Ax = 0$

• 只有零解 (Trivial Solution) $\iff \det(A) \neq 0$ (列向量线性无关)。
• 有非零解 $\iff \det(A) = 0$ (列向量线性相关)。

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核心笔记：行列式 vs. 增广矩阵 (高斯消元)

1. 角色定位

| 方法 | 行列式 ($\det A$) | 高斯消元 (增广矩阵 $[A|b]$) | | :------- | :---------------- | :------------------ | | 角色 | 判官 (诊断器) | 执行者 (手术刀) | | 输入 | 仅系数矩阵 $A$ (左边) | 整个增广矩阵 (左边+右边) | | 主要功能 | 快速判断矩阵是否”可逆” | 算出具体的 $x, y, z$ 值 | | 判断力 | 只能区分：唯一解 vs. 非唯一解 | 能区分：唯一解 / 无解 / 无穷多解 |

2. 判定逻辑流程图

第一步：看行列式 ($\det A$)

• 若 $\det(A) \neq 0$ $\rightarrow$ 唯一解 (Unique Solution)
  • 此时不需要做高斯消元也能确定有解。
• 若 $\det(A) = 0$ $\rightarrow$ 非唯一解 (Singular)
  • 此时局势不明，可能是”无解”，也可能是”无穷多解”。
  • 必须进入第二步！

第二步：看高斯消元 (Gaussian Elimination)

当 $\det(A) = 0$ 时，对 $[A|b]$ 消元至阶梯形：

• 情况 A：无解 (No Solution)

  • 出现矛盾行：$[0, \dots, 0 \mid \text{非0数}]$
  • 即 $0 = k$ (不可能)。

• 情况 B：无穷多解 (Infinitely Many)

  • 出现全零行：$[0, \dots, 0 \mid 0]$
  • 即 $0 = 0$ (有效方程少于变量数，出现自由变量)。

3. 考试做题策略

1. 问 “For which value is there a unique solution?”
   • 用行列式：直接算 $\det(A) \neq 0$。这是最快的方法。
2. 问 “Find the solution” 或问具体是无解/无穷解
   • 用高斯消元：老老实实化简增广矩阵。

4. 向量空间 (Vector Spaces)

4.1 核心概念

• 子空间 (Subspace): 必须满足三个条件：

  1. 包含零向量 $\mathbf{0}$。
  2. 对加法封闭 ($\mathbf{u}+\mathbf{v}$ 仍在空间内)。
  3. 对标量乘法封闭 ($c\mathbf{u}$ 仍在空间内)。

• 线性组合 (Linear Combination): $c_1\mathbf{v}_1 + \dots + c_k\mathbf{v}_k$

• 生成/张成 (Span): 一组向量的所有线性组合构成的集合。

4.2 线性相关性 (Linear Independence)

• 定义: $c_1\mathbf{v}_1 + \dots + c_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0}$ 只有唯一解 $c_1=\dots=c_k=0$。
• 判别: 若向量个数 > 向量维数，必相关。

4.3 基与维数 (Basis & Dimension)

• 基 (Basis): 既线性无关又生成该空间的一组向量。
• 维数 (Dimension): 基中向量的个数。

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5. 线性变换 (Linear Transformations)

5.1 定义与矩阵表示

• 变换 $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 是线性的，如果： $T(u+v) = T(u) + T(v)$ 且 $T(cu) = cT(u)$。
• 标准矩阵: $A = [T(e_1) \ T(e_2) \ \dots \ T(e_n)]$。

5.2 核与像 (Kernel & Image)

• 核 (Kernel/Null Space): 所有使 $Ax=0$ 的 $x$ 的集合。($\text{Ker}(T)$)
• 像 (Image/Range): 所有可能的输出向量 $Ax$ 的集合。($\text{Im}(T)$)

5.3 秩-零度定理 (Rank-Nullity Theorem)

对于 $m \times n$ 矩阵 $A$： $\text{Rank}(A) + \text{Nullity}(A) = n$ ($\text{Rank}$ = 主元个数 = 列空间维数； $\text{Nullity}$ = 自由变量个数)

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6. 特征值与特征向量 (Eigenvalues & Eigenvectors)

6.1 定义

$A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$

• $\lambda$: 特征值 (Eigenvalue)
• $\mathbf{x}$: 特征向量 (Eigenvector, $\mathbf{x} \neq 0$)

6.2 计算三步走

1. 求特征值: 解方程 $\det(A - \lambda I) = 0$。
2. 求特征向量: 对每个 $\lambda$，解 $(A - \lambda I)\mathbf{x} = 0$ 求基础解系。
3. 对角化 (若要求): 检查是否有 $n$ 个线性无关的特征向量。

6.3 对角化 (Diagonalization)

• 公式: $A = PDP^{-1}$
• $D$: 对角线为 $\lambda$ 的对角矩阵。
• $P$: 对应列为特征向量的矩阵。
• 应用: 计算 $A^k = PD^kP^{-1}$。

6.4 实对称矩阵 (Symmetric Matrices)

• 性质：$A^T = A$。
• 定理：特征值必为实数；不同特征值的特征向量相互正交。
• 正交对角化：$A = PDP^T$ (其中 $P$ 是正交矩阵，$P^{-1}=P^T$)。

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7. 常见几何变换矩阵 (2 D)

• 旋转 (Rotation) ($\theta$): $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$
• 反射 (Reflection) (关于 X 轴): $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
• 投影 (Projection) (到 X 轴): $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$