Hyperbolic Function

二、双曲函数与三角代换公式

三角 / 双曲代换（$t=\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$ 或 $t=\tanh\left(\frac{\theta}{2}\right)$）

三角函数： $\sin\theta=\frac{2t}{1+t^2}$, $\cos\theta=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ 双曲函数： $\sinh\theta=\frac{2t}{1-t^2}$, $\cosh\theta=\frac{1+t^2}{1-t^2}$

双曲函数恒等式

基本恒等式： $\cosh^2 A - \sinh^2 A = 1$ 和差公式： $\sinh(A\pm B)=\sinh A\cosh B\pm\cosh A\sinh B$ $\cosh(A\pm B)=\cosh A\cosh B\pm\sinh A\sinh B$ 二倍角公式： $\cosh2A=1+2\sinh^2 A=2\cosh^2 A-1=\cosh^2 A+\sinh^2 A$ $\sinh2A=2\sinh A\cosh A$ 其他恒等式： $\text{sech}^2 A=1-\tanh^2 A$ $\tanh(A\pm B)=\frac{\tanh A\pm\tanh B}{1\pm\tanh A\tanh B}$ 降幂公式： $\cosh^2 A=\frac{\cosh2A+1}{2}$ $\sinh^2 A=\frac{\cosh2A-1}{2}$

双曲函数线性组合

若 $A>B$： $A\cosh x + B\sinh x=\sqrt{A^2 - B^2}\cosh(x+\beta)$ （其中 $\cosh\beta=\frac{A}{\sqrt{A^2 - B^2}}$, $\sinh\beta=\frac{B}{\sqrt{A^2 - B^2}}$） 若 $A<B$： $A\cosh x + B\sinh x=\sqrt{B^2 - A^2}\sinh(x+\beta)$ （其中 $\cosh\beta=\frac{B}{\sqrt{B^2 - A^2}}$, $\sinh\beta=\frac{A}{\sqrt{B^2 - A^2}}$）

导数公式

$(\sinh x)'=\cosh x$ $(\cosh x)'=\sinh x$ $(\tanh x)'=\text{sech}^2 x$ $(\text{arsinh } x)'=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ $(\text{arcosh } x)'=\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$ $(\text{artanh } x)'=\frac{1}{1 - x^2}$ $\text{arctanh}x = \frac{1}{2}\ln(\frac{1 + x}{1 - x})$

积分代换公式

积分形式	代换方法	结果
$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}dx$	$x=a\sin\theta$	$\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)+C$
$\int \frac{1}{a^2 + x^2}dx$	$x=a\tan\theta$	$\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)+C$
$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}}dx$	$x=a\sinh\theta$	$\text{arsinh}\left(\frac{x}{a}\right)+C$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}dx$	$x=a\cosh\theta$	$\text{arcosh}\left(\frac{x}{a}\right)+C$
$\int \frac{1}{a^2 - x^2}dx$		$\frac{1}{2a}\ln\left\|\frac{a + x}{a - x}\right\| + C$
$\int \frac{1}{x^2 - a^2}dx$		$\frac{1}{2a}\ln\left\|\frac{x - a}{x + a}\right\| + C$

函数奇偶性运算

A. 加减法 (Addition/Subtraction)

• 奇 + 奇 = 奇
• 偶 + 偶 = 偶
• 奇 + 偶 = 非奇非偶 (Neither)
• 复合函数有一个偶就是偶函数，奇函数只有全是奇函数才行

B. 乘除法 (Multiplication/Division)

• 偶 $\times$ 偶 = 偶 ($(+) \times (+) = +$)
• 奇 $\times$ 奇 = 偶 ($(-) \times (-) = +$) ← 注意这个！
• 奇 $\times$ 偶 = 奇 ($(-) \times (+) = -$)
• 奇 / 偶 = 奇 ($(-) / (+) = -$)