Definition : A set is a group of objects.

[!question] 集合表示方法 集合的特性：

• 确定性 (Well-defined)：对于任何一个对象，我们都能明确判断它是否属于这个集合。

• 互异性 (Distinct)：集合中的元素是唯一的，不重复出现。例如，$\{1,2,2,3\}$实际上就是 $\{1,2,3\}$。

• 无序性 (Order-independent)：集合中的元素没有特定的顺序。例如，$\{1,2,3\}$和 $\{3,1,2\}$是同一个集合。

（一）列举法

• $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
• $B = \{a, e, i, o, u\}$

（二）描述法

• $A = \{x | x \text{ 是小于 6 的正整数}\}$
• $E = \{x | 2 \leq x \leq 10\}$

集合间关系

• 属于关系：$3 \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$；不属于关系：$6 \notin \{1, 2, 3, 4, 5\}$

常见数集

• 自然数集：$\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$
• 整数集：$\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$
• 有理数集：$\mathbb{Q} = \{\frac{p}{q} | p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0\}$
• 实数集：$\mathbb{R}$
• 复数集：$\mathbb{C}$

集合相关概念

基数 Cardinality

集合中元素的个数，例如：$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$|A| = 5$；$C = \varnothing$，$|C| = 0$

空集 Empty Set

不包含任何元素的集合，例如：$A = \{x | x \in \mathbb{R}, x^{2} < 0\}$，则 $A = \varnothing$，$|\varnothing| = 0$，$|\{\varnothing\}| = 1$

全集 Universe Set

用 $U$ 或 $E$ 表示，表示包含条件的更大的集合

子集 Subset

$A \subseteq B$，例：$A = \{1, 2\}$，$B = \{1, 2, 3, 4\}$，$A \subseteq B$；$A \subseteq A$，空集是任何集合的子集。

真子集 Proper Subset

$A \subsetneqq B$，例：$\{a, b\} \subsetneqq \{a, b, c\}$，空集是任何非空集合的真子集。

==幂集 Power Set==

一个集合的所有子集构成的集合。设 $A$ 有 $n$ 个元素，$|P(A)| = 2^{n}$ $Proof:$

1. $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \cdots + C_{n}^{n} = 2^{n}$
2. 对于每一个元素，都有把它放进子集和不放进子集两种选项。一共有 $n$ 个元素, 所以是 $2^n$

集合运算

并集

• $A \cup B = \{x | x \in A \text{ 或 } x \in B\}$
• $A \cup \varnothing = A$

交集

• $A \cap B = \{x | x \in A \text{ 且 } x \in B\}$
• $A \cap \varnothing = \varnothing$，$A \cap A = A$
• 若 $A = \{1, 2, 3\}$，$B = \{4, 5, 6\}$，$A \cap B = \varnothing$，$A$ 和 $B$ 是不相交集合

差集

$A - B = \{x | x \in A \text{ 且 } x \notin B\}$

补集

$\overline{A} = \{x | x \notin A \text{ 且 } x \in U\}$

$\overline{\overline{A}} = A$

对称差集

• $A \oplus B = \{x | (x \in A \text{ 且 } x \notin B) \text{ 或 } (x \notin A \text{ 且 } x \in B)\}$
• $A \oplus B = (A - B) \cup (B - A)$
• $A \oplus B = (A \cup B) - (A \cap B)$

集合运算律

分配律

• $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
• $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

矛盾律和排中律

• $\overline{A} \cap A = \varnothing$
• $\overline{A} \cup A = U$

德摩根律

• $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$
• $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

集合等势相关

• 若 $A$，$B$ 存在一种一一对应的关系：$A \to B$，则称 $A$ 与 $B$ 是等势的（equipotential），记作：$A \sim B$。如果 $A = B$，则 $A \sim B$，反之不成立。

• 与自然数集合 $\mathbb{N}$ 等势的集合，称为可数集合，记为 $\aleph_0$（阿列夫零）。开区间 $(0, 1)$ 为不可数集合，与其等势为不可数集合，$\aleph_1$。

笛卡尔积 (Cartesian product)

A tuple is finite, ordered collection of objects. A tuple with exactly n elements is sometimes called an n-tuple. A tuple with exactly 2 elements is also called an ordered pair.

• $A \times B = \{\langle a, b \rangle | a \in A \text{ 且 } b \in B\}$，$\langle a, b \rangle$ 为有序对。

• 例：$A = \{1, 2\}$，$B = \{a, b, c\}$，$|A \times B| = |A| \times |B| = 2 \times 3 = 6$，$A \times B \neq B \times A$（除非 $A = B$ 或其中一个为空集）

Function

Function

二元关系

• $R \subseteq A \times B$，$A$ 为前域，$B$ 为后域。

  • 若 $\langle x, y \rangle \in R$，$x R y$，读作 $x$ 对 $y$ 有关系 $R$。
  • 若 $\langle x, y \rangle \notin R$，$x \not R y$，读作 $x$ 对 $y$ 没有关系 $R$。

• $R$ 是 $A \times B$ 的任意一个子集。

• 空关系：$R = \varnothing$

• 全关系：$E_A = R = A \times B$

• 恒等关系：$I_A = R = \{\langle x, x \rangle | x \in A\}$，即前域后域相等为 $A$。

集合子集数量

定义集合 $A$，$B$，$A \times B$ 有 $|A| \times |B|$ 个不同元素，产生 $2^{|A| \times |B|}$ 个不同子集。

关系的表示方法

1. 列举法
2. 描述法
3. 关系矩阵
4. 有向图

逆关系

$R: A \to B$

• $R^{-1}: B \to A$，$|R| = |R^{-1}|$
• $R^{-1} = \{\langle y, x \rangle | \langle x, y \rangle \in R\}$

例：$R = \{\langle 1, a \rangle\}$，$R^{-1} = \{\langle a, 1 \rangle\}$，$\varnothing^{-1} = \varnothing$

复合关系

• $R_1 \subseteq A \times B$，$R_2 \subseteq B \times C$，$R_1: A \to B$，$R_2: B \to C$。
• $R_1 \circ R_2 = \{\langle x, z \rangle | (x \in A) \land (z \in C) \land (\exists y)(y \in B \land x R_1 y \land y R_2 z)\}$
• 若 $R: A \to B$
  • $(R \circ S) \circ T = R \circ (S \circ T)$
  • $I_A \circ R = R \circ I_B = R$

复合运算

• $R \circ (S_1 \cup S_2) = (R \circ S_1) \cup (R \circ S_2)$
• $(S_1 \cup S_2) \circ T = (S_1 \circ T) \cup (S_2 \circ T)$
• $R \circ (S_1 \cap S_2) \subseteq (R \circ S_1) \cap (R \circ S_2)$
• $(S_1 \cap S_2) \circ T \subseteq (S_1 \circ T) \cap (S_2 \circ T)$
• $(R \circ S)^{-1} = S^{-1} \circ R^{-1}$
• $R^0 = I_A$，$R^1 = R$，$R^{n+1} = R^n \circ R = R \circ R^n$，$R^n$ 可能会收敛

关系的性质

• 自反性：$\forall x (x \in A \to \langle x, x \rangle \in R)$，例：$R = \{\langle 1, 1 \rangle, \langle 2, 2 \rangle\}$
• 反自反性：$\forall x (x \in A \to \langle x, x \rangle \notin R)$
• 对称性：$\forall x \forall y ((x, y \in A) \land \langle x, y \rangle \in R \to \langle y, x \rangle \in R)$，例：$R = \{\langle 1, 2 \rangle, \langle 2, 1 \rangle\}$
• 反对称性：$\forall x \forall y ((x, y \in A) \land \langle x, y \rangle \in R \land \langle y, x \rangle \in R \to x = y)$
• 传递性：若有 $a \to b$，$b \to c$，则有 $a \to c$，例：$R = \{\langle 1, 2 \rangle, \langle 2, 3 \rangle, \langle 1, 3 \rangle\}$

设 $R$ 是集合 $A$ 上的关系：

• 自反性：$I_A \subseteq R$
• 反自反性：$R \cap I_A = \varnothing$
• 对称性：$R = R^{-1}$
• 反对称性：$R \cap R^{-1} \subseteq I_A$
• 传递性：$R \circ R \subseteq R$

闭包

设 $R$ 是集合 $A$ 的关系，若存在另一个关系 $R'$ 满足：

1. $R'$ 是自反的（对称的，传递的）
2. $R''$ 满足性质，$R \subseteq R''$，就有 $R' \subseteq R''$，则 $R'$ 为 $R$ 的自反闭包 $(r(R))$，对称闭包 $(s(R))$，传递闭包 $(t(R))$

等价关系

$R$ 具备自反性、对称性、传递性。

等价类

$[x]_R = \{y | y \in A \land x R y\}$，$\forall x \in A$，$[x]_R \neq \varnothing$；$\forall x, y \in A$，如果 $y \in [x]_R$，则 $[x]_R = [y]_R$，否则 $[x]_R \cap [y]_R = \varnothing$；$\bigcup_{x \in A} [x]_R = A$

商集

$R$ 确定的一切等价类的集合，称为 $A$ 关于 $R$ 的商集，记做 $A / R$

• $A / R = \{[x]_R | x \in A\}$

例：$A / R = \{[0]_R, [1]_R, [2]_R\} = \{\{0, 4, 8\}, \{1, 5, 9\}, \{2\}\}$

集合划分

$\pi \subseteq \mathcal{P}(A)$，$\pi = \{S_1, S_2, \cdots, S_n\}$

1. 非空：$\varnothing \notin \pi$，$S_i \neq \varnothing$
2. 互不相交：$S_i \cap S_j = \varnothing$，$i \neq j$
3. 并集为全集：$\bigcup S_i = A$，则 $\pi$ 为集合 $A$ 的一个划分，而 $S_i$ 叫做划分的块（block）或类（class）。$R$ 为等价关系，等价划分：商集 $A / R$ 是 $A$ 的一个划分，称为由 $R$ 导出的等价划分。

偏序关系

1. 自反性
2. 反对称性
3. 传递性

满足偏序关系的关系 $R$，记为 "$\preceq$"。 偏序集：$\langle A, \preceq \rangle$，可比：$\langle a, b \rangle \in R$ 或 $\langle b, a \rangle \in R$，否则不可比

哈斯图

1. 满足偏序关系
2. 因为自反性，不用画自反环
3. 因为传递性，不用画因传递性出现的边
4. 不用画箭头，默认向上

设 $\langle A, \preceq \rangle$ 是一个偏序集，$B \subseteq A$ 是 $A$ 的一个子集。

最大元 & 最小元

最大元 (Greatest Element)：如果 $\forall x \in B$，都有 $x \preceq b$，则称 $b$ 为 $B$ 的最大元

最小元 (Least Element)：如果 $\forall x \in B$，都有 $b \preceq x$，则称 $b$ 为 $B$ 的最小元

极大元 & 极小元

极大元 (Maximal Element)：如果 $\forall x \in B$，满足 $b \preceq x \implies x = b$，则称 $b$ 为 $B$ 的极大元

极小元 (Minimal Element)：如果 $\forall x \in B$，满足 $x \preceq b \implies x = b$，则称 $b$ 为 $B$ 的极小元

上界 & 上确界

上界 (Upper Bound)：对任意 $x \in B$，都有 $x \preceq a$，则称 $a$ 为 $B$ 的上界。

上确界 (Least Upper Bound / Supremum)：若元素 $a' \in A$ 是 $B$ 的上界，且对 $A$ 中 $B$ 的任何一个上界 $a$，均有 $a' \preceq a$，则称 $a'$ 为 $B$ 的最小上界或上确界。

下界 & 下确界

下界 (Lower Bound)：若存在元素 $a \in A$，使得对任意 $x \in B$，都有 $a \preceq x$，则称 $a$ 为 $B$ 的下界。

下确界 (Greatest Lower Bound / Infimum)：若元素 $a' \in A$ 是 $B$ 的下界，且对 $A$ 中 $B$ 的任何一个下界 $a$，均有 $a \preceq a'$，则称 $a'$ 为 $B$ 的最大下界或下确界。