Sequence

1. 等差数列 (Arithmetic Progression - AP)

关键定义

• 首项 (First Term): $a_1$ 或 $a$
• 公差 (Common Difference): $d$

通项公式 (General Term)

数列的第 $n$ 项 $a_n$ 为：

$a_n = a_1 + (n-1)d$

求和公式 (Sum of First n Terms)

前 $n$ 项的和 $S_n$ 有两种计算方式：

1. 已知首项 $a_1$ 和末项 $a_n$：

   $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$

2. 已知首项 $a_1$ 和公差 $d$：

   $S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$

2. 等比数列 (Geometric Progression - GP)

关键定义

• 首项 (First Term): $a_1$ 或 $a$
• 公比 (Common Ratio): $r$ (其中 $r \neq 0, r \neq 1$)

通项公式 (General Term)

数列的第 $n$ 项 $a_n$ 为：

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

求和公式 (Sum of First n Terms)

1. 当公比 $r = 1$ 时：

   $S_n = n \cdot a_1$

2. 当公比 $r \neq 1$ 时：

   $S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r} = \frac{a_1(r^n-1)}{r-1}$

无穷项和 (Sum to Infinity)

当且仅当公比 $r$ 满足 $|r| < 1$ 时，无穷等比数列的和存在：

$S_{\infty} = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a_1}{1-r}$

等比中项 (Geometric Mean)

如果 $G$ 是 $x$ 和 $y$ 的等比中项，则：

$G^2 = xy$ (通常取 $G = \sqrt{xy}$，若 $x, y$ 同号) (即 $x, G, y$ 构成等比数列)

3. 线性递推关系 (Linear Recurrence Relations)

解的目标是找到通项公式 $a_n$。 总解 (G.S.) = 齐次解 (H.S.) + 特解 (P.S.)

$a_n = a_n^{(h)} + a_n^{(p)}$

3.1 一阶线性递推关系 (First-Order)

形如 $a_n + c_1 a_{n-1} = f(n)$。

• 第一步：求齐次解 $a_n^{(h)}$ 特征方程：$t + c_1 = 0 \implies t = -c_1$ 齐次解：$a_n^{(h)} = A \cdot (-c_1)^n$
• 第二步：求特解 $a_n^{(p)}$ 根据 $f(n)$ 猜测 $a_n^{(p)}$ (规则同下)。 冲突判断： $m$ 是特征根 $t=k$ (或 $t=1$) 的重数，此处 $m$ 只能是 0 或 1。
• 第三步：求总解并求解 $A$ $a_n = a_n^{(h)} + a_n^{(p)} = A \cdot (-c_1)^n + a_n^{(p)}$ 使用 $a_0$ 求解 $A$。

3.2 二阶线性递推关系 (Second-Order)

形如 $a_n + c_1 a_{n-1} + c_2 a_{n-2} = f(n)$。

• 第一步：求齐次解 $a_n^{(h)}$ (Homogeneous Solution) 齐次方程为 $a_n + c_1 a_{n-1} + c_2 a_{n-2} = 0$ 写出特征方程 (Characteristic Equation):

  $t^2 + c_1 t + c_2 = 0$

  解出特征根 $t_1, t_2$，判断 $\Delta = c_1^2 - 4c_2$：

  • $\Delta > 0$，$t_1, t_2$ 为两个不相等的实根

    $a_n^{(h)} = A \cdot t_1^n + B \cdot t_2^n$

  • $\Delta = 0$，$t_1 = t_2 = t$ 为两个相等的实根

    $a_n^{(h)} = (A + Bn) t^n$

  • $\Delta < 0$，$t_1, t_2$ 为一对共轭复根

    设 $t_{1,2} = r(\cos\theta \pm i\sin\theta)$ $a_n^{(h)} = r^n (A \cos(n\theta) + B \sin(n\theta))$

• 第二步：求特解 $a_n^{(p)}$ (Particular Solution) 根据 $f(n)$ 的形式猜测 $a_n^{(p)}$：

  • $f(n) = C$ (常数)

    猜 $a_n^{(p)} = D$ 冲突： 若 $t=1$ 是单根，猜 $a_n^{(p)} = Dn$ 冲突： 若 $t=1$ 是重根，猜 $a_n^{(p)} = Dn^2$

  • $f(n) = P_d(n)$ ($d$ 次多项式)

    猜 $a_n^{(p)} = (D_d n^d + \dots + D_0)$ 冲突： 若 $t=1$ 是单根，猜 $a_n^{(p)} = n \cdot (\dots)$ 冲突： 若 $t=1$ 是重根，猜 $a_n^{(p)} = n^2 \cdot (\dots)$

  • $f(n) = C \cdot k^n$ (指数形式)

    猜 $a_n^{(p)} = D \cdot k^n$ 冲突： 若 $k = t_1$ (单根)，猜 $a_n^{(p)} = Dn \cdot k^n$ 冲突： 若 $k = t_1 = t_2$ (重根)，猜 $a_n^{(p)} = Dn^2 \cdot k^n$

  • $f(n) = P_d(n) \cdot k^n$ (多项式 $\times$ 指数)

    猜 $a_n^{(p)} = (D_d n^d + \dots + D_0) \cdot k^n$ 冲突： 若 $k$ 是单根，猜 $a_n^{(p)} = n \cdot (\dots) \cdot k^n$ 冲突： 若 $k$ 是重根，猜 $a_n^{(p)} = n^2 \cdot (\dots) \cdot k^n$

• 第三步：带入特解 $a_n^{(p)}$ 求系数 将猜测的 $a_n^{(p)}$ 代入原始的非齐次方程 $a_n^{(p)} + c_1 a_{n-1}^{(p)} + c_2 a_{n-2}^{(p)} = f(n)$，解出 $D, D_i$ 等常数。

• 第四步：得到总解 (G.S.) 并求解 $A, B$ $a_n = a_n^{(h)} + a_n^{(p)}$ 使用 $a_0, a_1$ 两个初始条件，代入 $n=0, n=1$，解二元一次方程组求出 $A, B$。

3.3 $k$ 阶线性递推关系 (k-th Order - 普遍做法)

形如 $a_n + c_1 a_{n-1} + \dots + c_k a_{n-k} = f(n)$。

• 第一步：求齐次解 $a_n^{(h)}$ 特征方程：$t^k + c_1 t^{k-1} + \dots + c_k = 0$ 解出 $k$ 个根，齐次解 $a_n^{(h)}$ 由所有根对应的项相加而成：

  • 单实根 $t$: 对应 $A \cdot t^n$
  • $m$ 重实根 $t$: 对应 $(A_0 + A_1 n + \dots + A_{m-1} n^{m-1}) \cdot t^n$
  • 单复根对 $r(\cos\theta \pm i\sin\theta)$: 对应 $r^n (A \cos(n\theta) + B \sin(n\theta))$
  • $m$ 重复根对… (更复杂，不赘述)

• 第二步：求特解 $a_n^{(p)}$ 根据 $f(n)$ 的形式

  • 猜测 $a_n^{(p)}$：- $f(n) = P_d(n) \cdot k^n$ (通用形式)

  猜 $a_n^{(p)} = n^m \cdot (D_d n^d + \dots + D_0) \cdot k^n$ 冲突判断： $m$ 是特征根 $t=k$ 的重数 ($m \ge 0$)。 (注意：多项式 $P_d(n)$ 形式是 $k=1$ 的特例)

• 第三步：带入特解 $a_n^{(p)}$ 求系数 代入 $a_n^{(p)} + c_1 a_{n-1}^{(p)} + \dots + c_k a_{n-k}^{(p)} = f(n)$，解出 $D_i$。

• 第四步：得到总解 (G.S.) 并求解 $A, B, \dots$ $a_n = a_n^{(h)} + a_n^{(p)}$ 使用 $k$ 个初始条件 (例如 $a_0, \dots, a_{k-1}$)，代入 $n=0, \dots, k-1$，解 $k$ 元一次方程组求出 $A, B, \dots$ 等所有常数。