Simple Graph

在数学上，一个”图”（Graph）G 被严格定义为 $(V, E)$ 。其中，V 代表 Vertex Set, 表示顶点的集合，E 代表 Edge Set, 表示边的集合

简单图的定义：

一条边是基数为 2 的 V 的子集，意味着 no loops ，
1. 因为每条边必须是两个顶点的集合，比如 $\{v_1, v_2\}$ ，所以不能有一条边是 $\{v_1\}$ ，即一条边不能从一个点出发又回到自己。
没有”平行边”（Multiple Edges）：
1. 因为 $E$ 本身是一个”集合”。集合的特性是元素不能重复。
2. 你不能在 $v_1$ 和 $v_2$ 之间有两条叫 $\{v_1, v_2\}$ 的边 9。

邻接 (Adjacent or Neighbours)：两个 Vertices 之间的关系。

如果两个顶点被一条边连接，它们就是 adjacent

关联 (Incident)：Vertix 和 Edge 之间的关系。 2. 一个顶点是某条边的端点，that v is incident with e

Multiple Graph (多重图) allows loops and multiple edges

Directed Graph / Digraph

定义：它改变了”边”的性质。边不再是 $\{v_1, v_2\}$ 这样的_集合_，而是 $(v_1, v_2)$ 这样的有序对.

Path Graph

定义： $n$ 个顶点排成一条线

Cycle Graph 环图 - $C_n$

定义：一个有 $n$ 个顶点的连通图，每个顶点的度数都是 2。通俗地说，就是 $n$ 个点手拉手围成一个圈。
Length：一个环的长度指的是这个环由多少条边组成
顶点数 $|V|$ ： $n$
边数 $|E|$ ： $n$
笔记：环图非常简单，有多少个点，就有多少条边。
1. $C_4$ (正方形)：4 个顶点，4 条边。
2. $C_5$ (五边形)：5 个顶点，5 条边。

Complete Graph 完全图 - $K_n$

定义：一个有 $n$ 个顶点的图，其中每一对不同的顶点之间都有一条边
顶点数 $|V|$ ： $n$
边数 $|E|$ ： $|E| = \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ 无向完全图边数：comb (n, 2) 有向完全图边数：perm (n, 2)
笔记：
1. “边数”就是”从 $n$ 个顶点中选 2 个顶点出来连线”的组合数。
2. $K_5$ ： $|E| = \frac{5 \times (5-1)}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ 条边。
3. 反向计算（已知边，求点）： $n(n-1) = 2 \times |E|$

Bipartite Graph

定义：一个图是”二分”的，意思是你可以把它的所有顶点分成两个不相交的集合（和 $V_2$ ），使得每一条边都是连接中的一个点和 $V_2$ 中的一个点 A multigraph is not bipartite if and only if it contains a cycle of odd length.

Partition (分区)：

简单来说，就是把一个大集合（比如所有的顶点 $V(G)$ ）拆分成几个小组。这个拆分必须遵守两条铁律：

$V_1 \cup V_2 = V(G)$ ：一个都不能少。每个顶点都必须被分到 $V_1$ 或 $V_2$ 组里。
$V_1 \cap V_2 = \emptyset$ ：不能脚踏两只船。一个顶点不能同时属于 $V_1$ 和 $V_2$ 。

Complete Bipartite Graph 完全二分图 - $K_{m,n}$

定义：顶点被分成两个集合（有个点）和 $V_2$ （有 $n$ 个点）。 $V_1$ 中的每个点都与 $V_2$ 中的每个点相连，但 $V_1$ 内部和 $V_2$ 内部没有连线。
顶点数 $|V|$ ： $m + n$
边数 $|E|$ ： $m \times n$
笔记：
1. 边数就是两个分区大小的乘积。
2. $K_{7,6}$ ： $|V| = 7 + 6 = 13$ 个顶点。 $|E| = 7 \times 6 = 42$ 条边。

Subgraph

定义： $H$ 是 $G$ 的子图，意思是 $H$ 是必须通过删除的一些顶点或边得到的

$H$ 的顶点必须是顶点的子集。
$H$ 的边必须是 $G$ 边的子集。

Complement

定义： $\overline{G}$ （G的补图）和 $G$ 拥有完全相同的顶点 Tips： $\overline{G}$ 的边是 $G$ 缺失的边 $G + \overline{G} = G'$ , $G'$ 是完全图

同构 Isomorphic

图的遍历

Walk 随便走，点和边都可以重复 Closed walk：随便走，要走回去注意：一个 sequence 可以同时是 walk 和 closed walk Trail : Edge 不能重复，不回到起点 Tour: Edge 不能重复，回到起点 Path: Edge 和 Vertex 都不能重复 Cycle: Edge 不能重复，vertex 除了起点不能重复

哈密顿图

一、定义

哈密顿通路（回路）与哈密顿图定义

设 $G$ 是一个无向或有向图，若存在一条通路（回路），经过图中每个结点一次且仅一次，则称此通路（回路）为该图的一条哈密顿通路（回路）。具有哈密顿回路的图称为哈密顿图(Hamiltonian graph)。

注意事项

规定：平凡图为哈密顿图；
哈密顿通路是经过图中所有结点的通路中长度最短的通路；
哈密顿回路是经过图中所有结点的回路中长度最短的回路。

二、定理及推论

哈密顿图条件

[!note] 设无向图是哈密顿图，是的任意非空子集，则 $p(G - V_1) \leq |V_1|$ ，其中 $p(G - V_1)$ 是从中删除后所得到图的连通分支数。

此定理是哈密顿图的必要条件，而不是充分条件。
主要应用是判断某些图不是哈密顿图，即：若存在 $V$ 的某个非空子集 $V_1$ 使得 $p(G - V_1) > |V_1|$ ，则 $G$ 不是哈密顿图。
有割点的图一定不是哈密顿图。

推论 1

设无向图 $G = \langle V, E \rangle$ 中存在哈密顿通路，则对 $V$ 的任意非空子集 $V_1$ ，都有 $p(G - V_1) \leq |V_1| + 1$ 。

定理 2

设 $G = \langle V, E \rangle$ 是具有 $n$ 个结点的简单无向图。如果对任意两个不相邻的结点 $u, v \in V$ ，均有 $deg(u) + deg(v) \geq n - 1$ ，则 $G$ 中存在哈密顿通路。

[!example] 示例某地有 5 个风景点，若每个风景点均有 2 条道路与其他点相通。将 5 个风景点看成图中的结点，两风景点间的道路看成是无向图的边，故每个结点的度数均为 2，任意两个不相邻的结点的度数之和等于 4，正好为总结点数减 1。故此图中存在一条哈密顿通路，因此游人可以经过每个风景点恰好一次而游完这 5 处。

定理 3

设 $G = \langle V, E \rangle$ 是具有 $n$ 个结点的简单无向图。如果对任意两个不相邻的结点 $u, v \in V$ ，均有 $deg(u) + deg(v) \geq n$ ，则 $G$ 中存在哈密顿回路。

推论 2

设 $G = \langle V, E \rangle$ 是具有 $n$ 个结点的简单无向图， $n \geq 3$ 。如果对任意 $v \in V$ ，均有 $deg(v) \geq \frac{n}{2}$ ，则 $G$ 是哈密顿图。

注意

上述定理及其推论给出的是哈密顿图的充分条件，而不是必要条件。例如六边形图，虽不满足部分度数条件，但仍是哈密顿图。

Alevel 内容

排序方法

Bubble Sort 冒泡排序

两两比较，互相交换。极端情况下n个元素在n-1之后完成。

Quicksort 快速排序

选择中间的数当pivot，之后不断选新的pivots，写题的时候要把选的pivots写在前面。

Binary Search 二分法

选择中间的数当pivot，和要找的数比大小，然后reject前面或后面。写题的时候要把选的pivot写在前面。

Packing Algorithms 装箱问题

First-fit: 按照原始列表抓取元素，看能不能装入Bin1，不能就装入Bin2
First-fit decreasing: 将原始列表降序排列，然后再进行First fit
Full Bin: 先将能够装满箱子的进行配对，剩下的元素在进行First-fit
Lower bound for the number of Bins: 所有大小/ 箱子大小，向上取整

Minimum Spanning Tree 最小生成树

Question：在graph里找到总长最短、能把所有点连成一片的tree（所有点之间都能有一条path，且连完的图no cycle

Vertex/ Node 顶点
Edge/ arc 边
Path: a sequence of continuous edges from one vertex to another such that no vertex
Cycle: a closed path that finishes at the starting vertex
Connected graph: there exists a path between any two vertices
Tree: connected graph with no cycles
Spanning Tree: a subgraph that contains all vertices that is also a tree
Minimum spanning tree: spanning tree with the lowest weight

MST 算法

问题：把所有边都走一遍的最短经历路线

Prim’s Algorithm

从一个vertex开始，连接它最近的vertex，然后找到一个离已经连接的vertices最近的vertex，继续连接，直到结束

Kruskal’s Algorithm

从最短的边开始，从短到长考虑所有边，只要不形成cycle，就继续选，直到所有vertex连成一片。如果会形成cycle的，要在后面写一个reject。

Route Inspection Algorithm 邮递员问题

Repeat vertices:

中间点是 odd vertex
起点和中间在同一点，odd vertex
起点和终点不是同一点，even vertex

Vertices：A，B，C，D

AB+CD= (*)
AC+BD=
AD+BC=
AB+CD is the shortest, so repeat …
Length of inspection route = total weight of graph + (*)

如果是自由选点，一般会有4个odd vertex，选择起点和终点后，剩下的两个odd vertex之间的距离是这四个里面最短的。

The Travelling Salesman Problem

问题：找出把图上所有顶点都走一遍并回到出发起点的最短巡回路径

classical problem：每个顶点走一遍且只走一遍，并回到起点（不允许重复）

practical problem：每个项点至少走一遍，并回到起点（允许重复）

Upper bound

Minimum Spanning Tree Method

找到 MST（用 Kruskal 或 Prim 算法）
初始的 initial upper bound = 2 * MST

Nearest Neighbour Method

从任意一个 vertex 出发，在没有去过的 vertex 中，选择距离目前最近的 vertex，依次走过所有点，最后回到起点。

格式：NNB route = ACBFA

Upper bound：AC+CB+BF+FA=

Lower bound

Residual Minimum Spanning Tree Method

去掉一个 vertex（remove X）
找到除了这个点之外的 MST（一般用 Prim 找）
找到 remove X 的最短的两条边
Lower bound = RMST + cost of reconnection（那两条边）

Critical Path Analysis 包工头问题

Total float time for X = last finish for X - early start for X - duration of X 如果一个 critical activity 的前后只有唯一的一个 activity，那么这个 activity 也是 critical 的

Cascade/Gantt Diagram 甘特图

Critical activity 画在第一行，其余的按照顺序各占一行，从 early start time 开始，画完了行程时间后，在中间到 last finish 这段打上阴影

Schedule Diagram 排班时间表

工人 A 画在第一行，做完所有的 critical activity，就是 critical path。其他的工人按照顺序往下正常排列

Lower bound for number of workers

Lower bound 大于等于所有项目耗时总和除以项目所需的完成时间找到同一列有最多方格的，方格数就是工人数

During time 14 < t < 15, there are activities F, H, K, L. So at least 4 workers needed.

Dijkstra’s Algorithm

不断更新最短路径

Linear Programming 线性规划

线性规划问题建模

Objective maximize/minimize P = 3x+5y

Subject to：
- …
- …
- …
最优化问题求解： P = ax+by 的极值一定在 feasible region 的顶点处取得，这个顶点叫 optimal vertex（最佳顶点）。
- 方法 1: Object Line Method 画 ax+by=P0 的直线，然后平移
- 方法 2: Point Testing Method 把 feasible region 的顶点都算出来，然后带入 P=ax+by 方程，求出来最大的就是最大值，最小的就是最小值
如果问题是要求（x，y）的整数解，就在 feasible region 范围内，找距离 optimal vertex 最近的整数格点

Graph Theory

Simple Graph

Directed Graph / Digraph

Path Graph

Cycle Graph 环图 - $C_n$

Complete Graph 完全图 - $K_n$

Bipartite Graph

Partition (分区)：

Complete Bipartite Graph 完全二分图 - $K_{m,n}$

Subgraph

Complement

同构 Isomorphic

图的遍历

哈密顿图

一、定义

哈密顿通路（回路）与哈密顿图定义

注意事项

二、定理及推论

哈密顿图条件

推论 1

定理 2

定理 3

推论 2

注意

Alevel 内容

排序方法

Bubble Sort 冒泡排序

Quicksort 快速排序

Binary Search 二分法

Packing Algorithms 装箱问题

Minimum Spanning Tree 最小生成树

MST 算法

Prim’s Algorithm

Kruskal’s Algorithm

Route Inspection Algorithm 邮递员问题

The Travelling Salesman Problem

Upper bound

Lower bound

Critical Path Analysis 包工头问题

References

Graph Theory

Simple Graph

Directed Graph / Digraph

Path Graph

Cycle Graph 环图 - CnC_nCn​

Complete Graph 完全图 - KnK_nKn​

Bipartite Graph

Partition (分区)：

Complete Bipartite Graph 完全二分图 - Km,nK_{m,n}Km,n​

Subgraph

Complement

同构 Isomorphic

图的遍历

哈密顿图

一、定义

哈密顿通路（回路）与哈密顿图定义

注意事项

二、定理及推论

哈密顿图条件

推论 1

定理 2

定理 3

推论 2

注意

Alevel 内容

排序方法

Bubble Sort 冒泡排序

Quicksort 快速排序

Binary Search 二分法

Packing Algorithms 装箱问题

Minimum Spanning Tree 最小生成树

MST 算法

Prim’s Algorithm

Kruskal’s Algorithm

Route Inspection Algorithm 邮递员问题

The Travelling Salesman Problem

Upper bound

Lower bound

Critical Path Analysis 包工头问题

References

Cycle Graph 环图 - $C_n$

Complete Graph 完全图 - $K_n$

Complete Bipartite Graph 完全二分图 - $K_{m,n}$